Boundary Value Problems Generalized Solution Semi-Fredholm Solvability Special Functions Wave Equation
Issue Date:
2011
Publisher:
Union of Bulgarian Mathematicians
Citation:
Union of Bulgarian Mathematicians, Vol. 40, No 1, (2011), 200p-206p
Abstract:
Four-dimensional boundary value problems for the nonhomogeneous wave equation
are studied. They were proposed by M. Protter as multidimensional analogues of
Darboux problems in the plane. It is known that the unique generalized solution may
have a strong power-type singularity at only one boundary point. This singularity is
isolated at the vertex of the characteristic cone and does not propagate along the cone.
Another aspect is that the problem is not Fredholm, since it has infinite-dimensional
cokernel. Some known results suggest that the solution may have at most exponential
growth, but the question whether such solutions really exist was still open. We show
that the answer is positive and construct generalized solution of Protter problem with
exponential singularity. *2000 Mathematics Subject Classification: 35L05, 35L20, 35D05, 35D10, 35C10.
Description:
Недю И. Попиванов, Тодор П. Попов, Рудолф Шерер -
Разглеждат се четиримерни гранични задачи за нехомогенното вълново уравнение. Те са предложени от М. Протер като многомерни аналози на задачата на Дарбу в равнината. Известно е, че единственото обобщено решение може да има силна степенна особеност само в една гранична точка. Тази сингулярност
е изолирана във върха на характеристичния конус и не се разпространява по
конуса. Друг аспект на проблема е, че задачата не е фредхолмова, тъй като има
безкрайномерно коядро. Предишни резултати сочат, че решението може да има
най-много експоненциален ръст, но оставят открит въпроса дали наистина съществуват такива решения. Показваме, че отговора на този въпрос е положителен и строим обобщено решение на задачата на Протер с експоноциална особеност.
