Wave Equation Boundary Value Problems Generalized Solutions Singular Solutions Propagation of Singularities
Issue Date:
2012
Publisher:
Union of Bulgarian Mathematicians
Citation:
Union of Bulgarian Mathematicians, Vol. 41, No 1, (2012), 191p-196p
Abstract:
For 3-D wave equation M. Protter formulated (1952) some boundary value problems
which are three-dimensional analogues of the Darboux problems on the plane. Protter
studied these problems in a 3-D domain, bounded by two characteristic cones and
by a plane region. Now, more than 50 years later, it is well known that, for an
infinite number of smooth functions in the right-hand side, these problems do not have
classical solutions and the generalized solution have a strong power type singularity at
the vertex of the characteristic cone, which is isolated and does not propagate along
the cone. In the present paper we consider the third boundary value problem for the
wave equation involving lower order terms with a right-hand function of the form of
trigonometric polynomial and give a new upper estimate of possible singularity of the
solutions. It is interesting that the solutions of the considered problem have the same
order of possible singularity as the solutions of the wave equation without lower order
terms. *2000 Mathematics Subject Classification: 35L05, 35L20, 35D05, 35A20.
Description:
Недю Иванов Попиванов, Алексей Йорданов Николов -
През 1952 г. М. Протър формулира нови гранични задачи за вълновото уравнение, които са тримерни аналози на задачите на Дарбу в равнината. Задачите са разгледани в тримерна област, ограничена от две характеристични конуса и
равнина. Сега, след като са минали повече от 50 години, е добре известно, че
за безброй гладки функции в дясната страна на уравнението тези задачи нямат
класически решения, а обобщеното решение има силна степенна особеност във
върха на характеристичния конус, която е изолирана и не се разпространява по
конуса. Тук ние разглеждаме трета гранична задача за вълновото уравнение с
младши членове и дясна страна във формата на тригонометричен полином. Дадена е по-нова от досега известната априорна оценка за максимално възможната особеност на решенията на тази задача. Оказва се, че при по-общото уравнение с младши членове възможната сингулярност е от същия ред като при чисто вълновото уравнение.
